Exercícios de álgebra linear produzidos pela Equipe IGM

Segue uma lista de exercícios que envolvem capítulos iniciais de um curso de álgebra linear.

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Qua, 30 de Setembro de 2009 17:15

Questão 1: Considere a matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \ 0 & a_{22} & 0\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $A$ para $a_{2}=2$ ?

b) Calcule a matriz a matriz $A^{11}$ para $a_{22}=2$

c) Escreva o Determiante da matriz $A^{11}$ para os casos em que $a_{22}=2,$ $a_{22}=3$ , … , $a_{22}=k.$

Questão 2: Considere a matriz

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \ 1 & b_{22} & 0\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $B$ ?

b) Calcule $B^{10}$ para $b_{22}=0.$

c) Escreva a matriz $B^{10}$ para os casos em que $b_{22}=2,$ $b_{22}=3$ , … , $b_{22}=k.$

Questão 3: Considere a matriz

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 &2 \ 1 & c_{22} & 0\ c_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $C$ ?

b) Calcule $C^{15}$ para $c_{22}=1$ e $a_{31}=0$

c) Escreva a matriz $C^{15}$ para os casos em que $c_{31}=0$ e $c_{22}=2$ ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=3$ ; … ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=k.$

d) Escreva a matriz $C^{15}$ para os casos em que $c_{22}=1$ e $c_{31}=1$ ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=2$ ; … ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=p.$

Questão 4: Considere a matriz

$M=\begin{pmatrix} 0 & a &a \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule $M^n$ para todo n Natural e todo a Real

Questão 5: Considere a matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \ 0 & a_{22} & 0\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o determinante da matriz $A$ para $a_{22}=2$ ?

b) Calcule $Det A^{7}$ para $a_{22}=2$

c) Calcule o Determinante da matriz $A^{7}$ para os casos em que $a_{22}=2,$ $a_{22}=3$ , … , $a_{22}=k.$

Questão 6: Considere a matriz

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \ 1 & b_{22} & 0\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $B$ ?

b) Calcule o Determinante de $B^{10}$ para $b_{22}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $B^{10}$ para os casos em que $b_{22}=2,$ $b_{22}=3$ , … , $b_{22}=k.$

Questão 7: Considere a matriz

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 &2 \ 1 & c_{22} & 0\ c_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $C$ ?

b) Calcule Determinante de $C^{10}$ para $c_{22}=1$ e $a_{31}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que

$c_{31}=0$ e $c_{22}=2$ ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=3$ ; … ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=k.$

d) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que

$c_{22}=1$ e $c_{31}=1$ ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=2$ ; … ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=p.$

Questão 8: Considere a matriz

$M=\begin{pmatrix} 0 & a &a \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule o Determinante de $M^n$ para todo n Natural e todo a Real.

Questão 9. Considere as matrizes:

$A=\begin{pmatrix}1&0&0\&1&0\&0&1\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}2&0&0\&2&0\&0&2\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}3&0&0\&3&0\&0&3\end{pmatrix}$ e $M=\begin{pmatrix}a&0&0\&a&0\&0&a\end{pmatrix}$ .

a) Identifique o tipo de cada matriz;

b) Encontre o Determinante de cada matriz;

c) Encontre a Matriz Adjunta de cada matriz;

d) Encontre a Inversa de cada matriz.

Questão 10. Considere as marizes:

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\&-2&5\&0&4\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}2&-4&7\&8&1\&0&5\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}1&0&0\-2&3&0\1&4&3\end{pmatrix}$ e $D=\begin{pmatrix}6&0&0\9&10&0\3&7&1\end{pmatrix}$ .

a) Identifique o tipo de cada matriz;

b) Encontre o Determinante de cada matriz;

c) Encontre a Matriz Adjunta de cada matriz;

d) Encontre a Inversa de cada matriz.

e) Que características possuem suas inversas?

f) É possível escrever uma forma especial para seus determinantes?

Questão 11. Considere as Matrizes:

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\2&2&2\3&3&3\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}1&2&5\2&4&1\3&6&8\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&6\-1&0&3\end{pmatrix}$ ,

$D=\begin{pmatrix}1&2&3\4&7&-5\&0&0\end{pmatrix}$ , $M=\begin{pmatrix}1&2&5\2&4&6\3&6&8\end{pmatrix}$ , $N=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\5&7&9\end{pmatrix}$ .