Comentários sobre Sistemas Lineares

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Ter, 29 de Setembro de 2009 15:09

Questão 1:

Na solução do sistema linear abaixo utilizamos o Método de Gauss.

As matrizes obtidas na seqüência da esquerda para a direita são equivalentes e foram obtidas por meio de OPERAÇÕES ELEMENTARES realizadas:

troca de linhas, multiplicação de linhas por números reais diferente de zero ou a substituição de linhas através de combinação linear de outras linhas.

1. Descreva, passo a passo, as operações elementares realizadas para obterem a equivalência das matrizes:

.

2. A solução do sistema linear é a solução do sistema escalonado correspondente a matriz acima. Encontre esta solução.

 

Solução comentada

Prof. Ovídio Filho

 

Foram realizados, na obtenção da seqüência das matrizes abaixo, os seguintes passos: (Verifique realizando os cálculos manualmente ou utilizando o MPD: Método de Gauss):

Inicialmente, houve trocas de linhas que possuem zeros para a parte inferior da matriz:

Passo 1: Linha 1 pela Linha 3

Passo 2: Linha 2 pela Linha 4

Obtemos a matriz equivalente:

Na seqüência, fez o teste

 .

Confirmado, prosseguiu-se com os seguintes passos

para obtermos a seqüência de matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

 

é equivalente a

é equivalente a

A última matriz acima, por sua vez, por meio da operação

é equivalente a matriz que queríamos obter.

Olhando a matriz acima, prossegue-se realizando as seguintes operações elementares

Obtemos as matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

 

é equivalente a

é equivalente a

A partir da última matriz acima realizamos as próximas operações elementares que produzem matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

 

é equivalente a

Finalmente, os passos abaixo concluem o processo de Gauss.

Finalmente, resolvemos o sistema escalonado obtido da última matriz

Cuja solução è:

 

________________________________________________________________

Questão 2:

Considere o sistema linear

1. Use   o Teorema de Frobenius para verificar se o sistema Linear possui solução e identifique quantas e quais são as variáveis livres ou parâmetros. 

Solução comentada

Prof. Ovídio Filho

Escrevendo a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema linear e calculando o posto de cada uma para comparar com o número de incógnitas, temos, aplicando o teorema de Frobenius:

2.  Encontre, caso exista, a solução do sistema Linear pelo método da matriz inversa.

 

Ao novo sistema obtido,

Aplicamos o método da matriz inversa: Uma vez que o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero,

Encontramos a solução por meio da definição do cálculo da inversa, ou seja,

Para encontrarmos a matriz inversa, precisamos da transposta da adjunta da matriz A, já encontrada na avaliação 2. Assim,

Substituindo a matriz inversa na expressão anterior, obtemos

Finalmente, a solução do sistema linear é: