Falando sobre as propriedades dos determinantes

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Ter, 25 de Agosto de 2009 14:05

As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a ordem dos determinantes. No entanto, nas demonstrações que seguem, utilizaremos determinantes de ordem  2  e 3, para facilitar a compreensão.

1ª Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca somente de sinal.

Exemplos da propriedade 1 estão abaixo onde foram trocadas a segunda linha pela terceira e vice-versa. 

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

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2ª Se  multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada por um número  k, seu determinante será multiplicado por este número k.

Em geral, se multiplicamos todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem  n  por um número  k, seu determinante será multiplicado por  kⁿ, ou seja:

Det (k . A) = kⁿ . Det ( A ).

Observe os exempos abaixo onde a primeira linha da segunda matriz é 5 vezes a primeira linha da primeira matriz: 

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

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3ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada por um número, seu determinante não altera.

Nas Matrizes abaixo, a segunda linha foi substituida pela soma do dobro da primeira com a segunda, veja: 

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

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4ª O determinante de uma matriz quadrada coincide com o determinante de sua trasposta, ou seja,

Det ( A ) = Det ( A^t )

As matrizes abaixo, são exemplos da propriedade 4 onde a segunda matriz é a transposta da primeira. 

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

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5ª O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes destas matrizes:

Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).

6ª Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu determinante é zero.

7ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero.

8ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante é zero.

9ª Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais.

10ª Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero.

O conhecimento destas propriedades dos determinantes nos permite, por exemplo, simplificar o cálculo de determinantes de ordem maior que  3, aos quais não podemos aplicar diretamente. a regra de Sarrus. Como comentamos antes: "para calcular o determinante de uma matriz de ordem 4 é necessário calcular  4  determinantes de ordem  3. E se a matriz for de ordem  5, teríamos que calcular  20  determinantes de ordem  3  (uma vez que ao desenvolvermos os adjuntos de uma linha ou coluna qualquer obteríamos   5 determinantes de ordem  4  e, cada um destes, por sua vez,podemos decompor em  4  determinantes de ordem  3)."

DETERMINANTE DE ORDEM 5

Clique na Figura

No MPD acima implementamos o processo para calcular um determinante de ordem 5  buscando "zeros", até chegarmos em uma matriz de ordem  3,  a qual podemos calcular diretamente aplicando a Regra de Sarrus.

Para utilizar o MPD, entre com a matriz usando as setinhas da parte inferior ou, caso digite com o teclado (até duas casas decimais) aperte a tecla ENTER depois de digitar cada número. Após entrar com a sua matriz, clique em passos (localizado na parte superior) para ver os detalhes do processo.

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Última atualização em Ter, 25 de Agosto de 2009 18:02