2009 setembro « Instituto Goiano de Matemática

Exercícios de álgebra linear produzidos pela Equipe IGM

Segue uma lista de exercícios que envolvem capítulos iniciais de um curso de álgebra linear.

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Qua, 30 de Setembro de 2009 17:15

Questão 1: Considere a matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \ 0 & a_{22} & 0\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $A$ para $a_{2}=2$ ?

b) Calcule a matriz a matriz $A^{11}$ para $a_{22}=2$

c) Escreva o Determiante da matriz $A^{11}$ para os casos em que $a_{22}=2,$ $a_{22}=3$ , … , $a_{22}=k.$

Questão 2: Considere a matriz

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \ 1 & b_{22} & 0\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $B$ ?

b) Calcule $B^{10}$ para $b_{22}=0.$

c) Escreva a matriz $B^{10}$ para os casos em que $b_{22}=2,$ $b_{22}=3$ , … , $b_{22}=k.$

Questão 3: Considere a matriz

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 &2 \ 1 & c_{22} & 0\ c_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $C$ ?

b) Calcule $C^{15}$ para $c_{22}=1$ e $a_{31}=0$

c) Escreva a matriz $C^{15}$ para os casos em que $c_{31}=0$ e $c_{22}=2$ ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=3$ ; … ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=k.$

d) Escreva a matriz $C^{15}$ para os casos em que $c_{22}=1$ e $c_{31}=1$ ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=2$ ; … ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=p.$

Questão 4: Considere a matriz

$M=\begin{pmatrix} 0 & a &a \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule $M^n$ para todo n Natural e todo a Real

Questão 5: Considere a matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \ 0 & a_{22} & 0\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o determinante da matriz $A$ para $a_{22}=2$ ?

b) Calcule $Det A^{7}$ para $a_{22}=2$

c) Calcule o Determinante da matriz $A^{7}$ para os casos em que $a_{22}=2,$ $a_{22}=3$ , … , $a_{22}=k.$

Questão 6: Considere a matriz

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \ 1 & b_{22} & 0\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $B$ ?

b) Calcule o Determinante de $B^{10}$ para $b_{22}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $B^{10}$ para os casos em que $b_{22}=2,$ $b_{22}=3$ , … , $b_{22}=k.$

Questão 7: Considere a matriz

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 &2 \ 1 & c_{22} & 0\ c_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $C$ ?

b) Calcule Determinante de $C^{10}$ para $c_{22}=1$ e $a_{31}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que

$c_{31}=0$ e $c_{22}=2$ ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=3$ ; … ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=k.$

d) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que

$c_{22}=1$ e $c_{31}=1$ ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=2$ ; … ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=p.$

Questão 8: Considere a matriz

$M=\begin{pmatrix} 0 & a &a \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule o Determinante de $M^n$ para todo n Natural e todo a Real.

Questão 9. Considere as matrizes:

$A=\begin{pmatrix}1&0&0\&1&0\&0&1\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}2&0&0\&2&0\&0&2\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}3&0&0\&3&0\&0&3\end{pmatrix}$ e $M=\begin{pmatrix}a&0&0\&a&0\&0&a\end{pmatrix}$ .

a) Identifique o tipo de cada matriz;

b) Encontre o Determinante de cada matriz;

c) Encontre a Matriz Adjunta de cada matriz;

d) Encontre a Inversa de cada matriz.

Questão 10. Considere as marizes:

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\&-2&5\&0&4\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}2&-4&7\&8&1\&0&5\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}1&0&0\-2&3&0\1&4&3\end{pmatrix}$ e $D=\begin{pmatrix}6&0&0\9&10&0\3&7&1\end{pmatrix}$ .

a) Identifique o tipo de cada matriz;

b) Encontre o Determinante de cada matriz;

c) Encontre a Matriz Adjunta de cada matriz;

d) Encontre a Inversa de cada matriz.

e) Que características possuem suas inversas?

f) É possível escrever uma forma especial para seus determinantes?

Questão 11. Considere as Matrizes:

$A=\begin{pmatrix}1&1&1\2&2&2\3&3&3\end{pmatrix}$ ; $B=\begin{pmatrix}1&2&5\2&4&1\3&6&8\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&6\-1&0&3\end{pmatrix}$ ,

$D=\begin{pmatrix}1&2&3\4&7&-5\&0&0\end{pmatrix}$ , $M=\begin{pmatrix}1&2&5\2&4&6\3&6&8\end{pmatrix}$ , $N=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\5&7&9\end{pmatrix}$ .

a) Identifique o tipo de cada matriz;

b) Encontre o Determinante de cada matriz;

c) Encontre a Matriz Adjunta de cada matriz;

d) Encontre a Inversa de cada matriz.

e) O que ocorre em cada caso? Justifique.

Questão 12: Determine se os vetores:

$L_1=(1,2,3)$ , $L_2=(4,5,6)$ e $L_3=(2,1,0)$

a) são Linearmente Dependente (LD) ou Linearmente Independente (LI)?

b) Caso seja LD, escreva uma combinação linear.

Questão 13: Determine se os vetores são LD ou LI:

a) $L_1=(1,2,3,0)$ , $L_2=(4,5,6,1)$ e $L_3=(2,1,0,1)$

b) $L_1=(1,2,3,1)$ , $L_2=(4,5,6,1)$ e $L_3=(2,1,0,1)$

c) $L_1=(1,2,3,0)$ , $L_2=(4,5,6,1)$ e $L_3=(2,1,1,1)$

Questão 14: Considere os Sistema Lineares (SL):

I) $\left\{\begin{matrix}x_1+2x_2+3x_3&=&0\4x_1+5x_2+6x_3&=&1\2x_1+x_2&=&1\end{matrix}\right.$

II) $\left\{\begin{matrix}x_1+2x_2+3x_3&=&1\4x_1+5x_2+6x_3&=&1\2x_1+x_2&=&1\end{matrix}\right.$

III) $\left\{\begin{matrix}x_1+2x_2+3x_3&=&0\4x_1+5x_2+6x_3&=&1\2x_1+x_2+x_3&=&1\end{matrix}\right.$

Para cada Sistema Linear, responda:

a) Qual o número de variáveis?

b) Escreva a matriz dos coeficiente $A$ e a matriz aumentada $A^*$ ;

c) Encontre o $Posto(A)$ e o $Posto(A^*)$ ;

d) Use o Teorema de Frobenius para classificar os Sistemas Lineares quanto às soluções.

Questão 15: O sistema Linear $AX=0$ é chamado Sistema Linear Homogêneo.

O Sistema Linear Homogêneo tem solução? Use o Teorema de Frobenius para justificar sua resposta.

Última atualização em Qua, 30 de Setembro de 2009 17:49

30 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

Comentários sobre Sistemas Lineares

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Ter, 29 de Setembro de 2009 15:09

Questão 1:

Na solução do sistema linear abaixo utilizamos o Método de Gauss.

As matrizes obtidas na seqüência da esquerda para a direita são equivalentes e foram obtidas por meio de OPERAÇÕES ELEMENTARES realizadas:

troca de linhas, multiplicação de linhas por números reais diferente de zero ou a substituição de linhas através de combinação linear de outras linhas.

1. Descreva, passo a passo, as operações elementares realizadas para obterem a equivalência das matrizes:

2. A solução do sistema linear é a solução do sistema escalonado correspondente a matriz acima. Encontre esta solução.

Solução comentada

Prof. Ovídio Filho

Foram realizados, na obtenção da seqüência das matrizes abaixo, os seguintes passos: (Verifique realizando os cálculos manualmente ou utilizando o MPD: Método de Gauss):

Inicialmente, houve trocas de linhas que possuem zeros para a parte inferior da matriz:

Passo 1: Linha 1 pela Linha 3

Passo 2: Linha 2 pela Linha 4

Obtemos a matriz equivalente:

Na seqüência, fez o teste

Confirmado, prosseguiu-se com os seguintes passos

para obtermos a seqüência de matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

é equivalente a

A última matriz acima, por sua vez, por meio da operação

é equivalente a matriz que queríamos obter.

Olhando a matriz acima, prossegue-se realizando as seguintes operações elementares

Obtemos as matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

é equivalente a

A partir da última matriz acima realizamos as próximas operações elementares que produzem matrizes equivalentes com zeros abaixo da coluna do

é equivalente a

Finalmente, os passos abaixo concluem o processo de Gauss.

Finalmente, resolvemos o sistema escalonado obtido da última matriz

Cuja solução è:

________________________________________________________________

Questão 2:

Considere o sistema linear

1. Use o Teorema de Frobenius para verificar se o sistema Linear possui solução e identifique quantas e quais são as variáveis livres ou parâmetros.

Solução comentada

Prof. Ovídio Filho

Escrevendo a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema linear e calculando o posto de cada uma para comparar com o número de incógnitas, temos, aplicando o teorema de Frobenius:

2. Encontre, caso exista, a solução do sistema Linear pelo método da matriz inversa.

Ao novo sistema obtido,

Aplicamos o método da matriz inversa: Uma vez que o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero,

Encontramos a solução por meio da definição do cálculo da inversa, ou seja,

Para encontrarmos a matriz inversa, precisamos da transposta da adjunta da matriz A, já encontrada na avaliação 2. Assim,

Substituindo a matriz inversa na expressão anterior, obtemos

Finalmente, a solução do sistema linear é:

29 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

O uso de novas tecnologias no ensino de matemática pelo IGM

Novas Tecnologias – 2009

Escrito por Equipe IGM

Sáb, 05 de Setembro de 2009 11:12

Nosso objetivo é iniciar o Estudo de Funções e, para alcançá-lo, vamos utilizar a tecnologia dos Applets JAVA, denominhados por nós como MPD (Material Pedagógico Digital)

A Figura abaixo pode ser vista como o “corte” em uma vasilha com laterais retas (ângulo de 90º ) com a sua base. Esta vasilha deverá ser cheia (a uma vazão constante) com um líquido azul.

O MPD fornece a relação, expressa em forma do gráfico da direita, entre o tempo t gasto e a altura h do líquido na vasilha.

Clique na Figura para acessar o MPD e verificar outras situações ao aumentarmos ou diminuirmos a base da vasilha.

MPD 1 – Funções Lineares

Clique na Figura

Acesse o MPD (clique na Figura acima) para fazer os exercícios que seguem:

1.-Descubra o formato do gráfico e confirme sua descoberta fazendo uma simulação utilizando o MPD.

2.-Verifique os valores das alturas da água em 10 valores do tempo a sua escolha.segundos.

3.- Descreva, em português, a relação entre as alturas e os tempos.

4- Encontre a diferença entre as diferentes alturas nos tempos escolhidos nos itens 2 e 3 acima. Alguma conclusão?

5.-A medida que o tempo passa a altura da água aumenta ou diminui? Justifique.

6.- Descreva, em linguagem matemática (por meio de uma função), a relação entre a altura h e os tempo t. Justifique.

Última atualização em Dom, 06 de Setembro de 2009 12:56

7 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

MPD do IGM

Abaixo temos uma relação de MPD (Materiais Pedagógicos Digitais) relacionados ao ensino de álgebra linear: definições básicas de matrizes e da álgebra matricial, inversão, determinante, posto, cofatores etc. Conceitos básicos relacionados a sistemas lineares: existência e unicidade de soluções, teorema de Frobenius, métodos de resolução de sistemas como o método de Gauss, de Crammer e da matriz inversa. Escolha o seu, selecionando-o da relação a direita e acesse-o clicando na figura maior. Bons estudos, são os votos da Equipe IGM.

MPD de Álgebra Linear

Produzido pela Equipe IGM
Instituto Goiano de Matemática

1 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

Falando sobre as propriedades dos determinantes

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Ter, 25 de Agosto de 2009 14:05

As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir são válidas quaisquer que seja a ordem dos determinantes. No entanto, nas demonstrações que seguem, utilizaremos determinantes de ordem 2 e 3, para facilitar a compreensão.

1ª Se trocarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, seu determinante troca somente de sinal.

Exemplos da propriedade 1 estão abaixo onde foram trocadas a segunda linha pela terceira e vice-versa.

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

2ª Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada por um número k, seu determinante será multiplicado por este número k.

Em geral, se multiplicamos todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem n por um número k, seu determinante será multiplicado por kⁿ, ou seja:

Det (k . A) = kⁿ . Det ( A ).

Observe os exempos abaixo onde a primeira linha da segunda matriz é 5 vezes a primeira linha da primeira matriz:

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

3ª Se a uma linha ou coluna de uma matriz quadrada somamos outra paralela a ela multiplicada por um número, seu determinante não altera.

Nas Matrizes abaixo, a segunda linha foi substituida pela soma do dobro da primeira com a segunda, veja:

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

4ª O determinante de uma matriz quadrada coincide com o determinante de sua trasposta, ou seja,

Det ( A ) = Det ( A^t)

As matrizes abaixo, são exemplos da propriedade 4 onde a segunda matriz é a transposta da primeira.

Clique em uma das Matrizes acima para acessar o MPD que fornecem outros exemplos.

5ª O determinante do produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes destas matrizes:

Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).

6ª Se uma matriz quadrada tem todos os elementos de uma linha ou coluna nulos, seu determinante é zero.

7ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas iguais seu determinante é zero.

8ª Se uma matriz quadrada tem duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante é zero.

9ª Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada se descompõem em duas somas, então seu determinante é igual a soma dos determinantes que têm nessa linha ou coluna o primeiro e a segunda soma respectivamente, sendo os elementos restantes iguais aos determinantes iniciais.

10ª Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é combinação linear de duas ou mais das linhas ou colunas restantes, seu determinante é zero.

O conhecimento destas propriedades dos determinantes nos permite, por exemplo, simplificar o cálculo de determinantes de ordem maior que 3, aos quais não podemos aplicar diretamente. a regra de Sarrus. Como comentamos antes: "para calcular o determinante de uma matriz de ordem 4 é necessário calcular 4 determinantes de ordem 3. E se a matriz for de ordem 5, teríamos que calcular 20 determinantes de ordem 3 (uma vez que ao desenvolvermos os adjuntos de uma linha ou coluna qualquer obteríamos 5 determinantes de ordem 4 e, cada um destes, por sua vez,podemos decompor em 4 determinantes de ordem 3)."

DETERMINANTE DE ORDEM 5

Clique na Figura

No MPD acima implementamos o processo para calcular um determinante de ordem 5 buscando "zeros", até chegarmos em uma matriz de ordem 3, a qual podemos calcular diretamente aplicando a Regra de Sarrus.

Para utilizar o MPD, entre com a matriz usando as setinhas da parte inferior ou, caso digite com o teclado (até duas casas decimais) aperte a tecla ENTER depois de digitar cada número. Após entrar com a sua matriz, clique em passos (localizado na parte superior) para ver os detalhes do processo.

Última atualização em Ter, 25 de Agosto de 2009 18:02

1 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

Avaliação de Álgebra Linear (Equipe IGM)

Conteúdos de Álgebra Linear

Escrito por Equipe IGM

Sex, 21 de Agosto de 2009 17:14

Questão 1: Considere a matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &1 \\ 0 & a_{22} & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o determinante da matriz $A$ para $a_{22}=2$ ?

b) Calcule $Det A^{7}$ para $a_{22}=2$

c) Calcule o Determinante da matriz $A^{7}$ para os casos em que $a_{22}=2,$ $a_{22}=3$ , … , $a_{22}=k.$

Questão 2: Considere a matriz

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 1 & b_{22} & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $B$ ?

b) Calcule o Determinante de $B^{10}$ para $b_{22}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $B^{10}$ para os casos em que $b_{22}=2,$ $b_{22}=3$ , … , $b_{22}=k.$

Questão 3: Considere a matriz

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 &2 \\ 1 & c_{22} & 0\\ c_{31} & 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) Qual é o tipo da matriz $C$ ?

b) Calcule Determinante de $C^{10}$ para $c_{22}=1$ e $a_{31}=0.$

c) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que $c_{31}=0$ e $c_{22}=2$ ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=3$ ; … ; $c_{31}=0$ e $c_{22}=k.$

d) Calcule o Determinante da matriz $C^{10}$ para os casos em que $c_{22}=1$ e $c_{31}=1$ ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=2$ ; … ; $c_{22}=1$ e $c_{31}=p.$

Questão 4: Considere a matriz

$M=\begin{pmatrix} 0 & a &a \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Calcule o Determinante de $M^n$ para todo n Natural e todo a Real.

Última atualização em Seg, 31 de Agosto de 2009 14:44

1 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

Avaliação de EDO (disponível no IGM)

Conteúdos de Equações Diferenciais

Escrito por Equipe IGM

Seg, 31 de Agosto de 2009 10:09

Questão 1.

A Figura 6 mostra um circuito RL ligado a uma fonte de corrente contínua.

Ao fechar a chave a corrente no indutor não atingirá o seu valor máximo instantaneamente.

Pela lei de Kirchhoff podemos escrever:

que podemos reescrever:

a) Encontre a solução da Equação Diferencial 2.30

b) Dado a Condição Inicial i (1) = 2, encontre a solução do Problema de Valor Inicial ( PVI ).

c) Esboce o gráfico da solução do PVI.

Questão 2.

A Figura 7 mostra um circuito RC ligado a uma fonte de corrente contínua.

Ao fechar a chave a tensão no capacitor não atingirá o seu valor máximo instantaneamente.

Pela lei de Kirchhoff podemos escrever:

Substituindo a Equação 2.12

na Equação 2.32:

a) Encontre a solução da Equação Diferencial 2.33

b) Dado a Condição Inicial $v_c (1)=2$ , encontre a solução do Problema de Valor Inicial ( PVI ).

c) Esboce o gráfico da solução do PVI.

Questão 3

Dado o PVI $x\frac{dy}{dx}+2y=\frac{y^3}{x^2}$ com $y(1)=2$

a) Encontre a solução do Problema de Valor Inicial ( PVI ).

b) Esboce o gráfico da solução do PVI.

Última atualização em Seg, 31 de Agosto de 2009 10:35

1 de setembro de 2009 Publicado por igmmat | Uncategorized | Deixe um comentário

Instituto Goiano de Matemática

Você é do tamanho dos seus sonhos

Exercícios de álgebra linear produzidos pela Equipe IGM

Comentários sobre Sistemas Lineares

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MPD do IGM

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